Esponxa de Menger

CONSTRUCIÓN DO NIVEL 4 DA ESPONXA DE MENGER

Este é un proxecto que nace no seno de Imatxina, coordinado polo profesor Xulio Ferro e que se desenvolveu durante os anos 2014-2015  perseguindo os seguintes obxectivos:

  • Coñecer distintos desenvolvementos planos dun cubo e dun prisma.
  • Potenciar a creatividade e a  habilidade construindo os catro niveis da Esponxa de Menger.
  • Facer ver a importancia do traballo en equipo, entre alumnos e centros, para conquerir un proxecto común.
  • Introducir o concepto de fractal como unha estrutura na que as partes son totalmente semellantes ao todo, e na que a superficie tende a infinito e o volume a cero.
  • Desenvolver un traballo interdisciplinar.

Desenvolvemento 

Na X e XI edición de IMATXINA  confeccionamos 21 niveles 3 da Esponxa de Menger, dado que para chegar ao nivel 4 necesítanse 20 niveles 3. O nivel sobrante deixámolo para prestar aos centros que o soliciten para facer exposicións temporais.

Puxemos a disposición dos centros un total de 10.000 láminas cos desenvolvementos planos de 8 cubos xa troquelados de 3 cm de aresta, e outras tantas cos dos 4 prismas, tamén troquelados, de 3x3x9 cm.

esponja

Este material permitiu que coas dúas láminas, unha de cubos e outra de prismas, se puidera confeccionar un nivel 1 da Esponxa de Menger, obxectivo proposto a cada un dos alumnos dos centros participantes. A cada centro dábaselle a posibilidade de construir o nivel 2 se dispoñía de 20 niveles 1, e incluso algún centro se atreveu co nivel 3. Tamén se lles pedía aos alumnos que personalizasen cada un dos niveles 1 para darlle colorido ao conxunto final.

Proceso de execución do nivel 4

Cos niveles 1 e 2 levados polos centros participantes á sede de IMATXINA, foronse construindo os niveles 3, e cos  20 niveles 3 montouse por fin o nivel 4, que se expuso durante a XI edición de Imatxina na sede da Fundación Barrié.

Centros Participantes

Os alumnos e profesores participantes pertencen aos seguintes centros: Sagrado Corazón Placeres (Pontevedra), CEIP Frían-Teis (Vigo), IES Politécnico de Vigo, CEIP Escultor Acuña (Vigo), IES Alexander Bóveda (Vigo), CEIP Cháns-Bembrive (Vigo), Colexio Quiñónes de León (Vigo), CPI Covaterreña (Baiona), CEIP Plurilingüe Alexander Bóveda  (Redondela), Escola Rosalía de Castro (Vigo), IES Pedra da Auga (Ponteareas), Escolas Nieto (Vigo), IES Salvateresponxa1ra de Miño (Salvaterra), IES Escolas Proval (Nigrán), IES Mestre Landín (Marín), IES Beade (Vigo),  CEIP Balaídos (Vigo), Colexio Montesol (Vigo), IES Ribeira do Louro (Porriño), IES Meaño (Meaño), IES República Oriental Uruguay (Vigo), CEIP Pintor Laxeiro (Vigo), IES San Paio (Tui), IES Teis (Vigo), Colexio Apóstol Santiago (Vigo), Colexio Andersen (Vigo), IES Pino Manso (Porriño), IES Álvaro Cunqueiro (Vigo), CPI Os Dices (Rois, A Coruña), IES Ponte Caldelas (Ponte Caldelas), IES Johan Carballeira (Bueu), IES As Barxas (Moaña), IES Chapela (Redondela), IES Coruxo (Vigo), Educación Permanente de Adultos –EPAPU- Berbés (Vigo), IES O Castro (Vigo), IES Carlos Casares (Vigo), IES Pedras Rubias (Salceda de Caselas), CEIP Seis do Nadal (Vigo), IES Torrente Ballester (Pontevedra), Colexio Losada (Vigo), IES a Guía (Vigo), IES de Valga (Valga),  Niño Jesús de Praga (Vigo), IES Pedro Floriani (Redondela), IES Faro das Lúas (Vilanova de Arousa), Colexio Estudio (Nigrán), IES Auga da Laxe (Gondomar), CEIP Pazos de Reis (Tui), CPR Santa Cristina (Vigo).

Finalmente participaron na construción da Esponxa de Menger 48 centros da provincia de Pontevedra e un de Santiago. Esto supón que colaboraron arredor dos 8.000 alumnos e máis de 200 profesores, non soamente profesores de matemáticas senón tamén,  profesores de plástica, tecnoloxía e outras materias.

 Agradecementos

A Gráficas Tórculo pola súa colaboración na confección das láminas.

A Fundación Barrié e á Fundación Escola Rosalía por facer posible a celebración de Imatxina.

Ao Concello de Vigo, polo seu apoio incondicional ao proxeto, e grazas ao cal esta peza queda exposta ao público nas instalacións do  VERBUM.

Existen obxectos sumamente complexos que poden ser definidos matematicamente utilizando un conxunto de regras relativamente simples. A esponxa de Menger é un deles. Trátase dun conxunto fractal descrito por primeira vez en 1926 por Karl Menger mentres exploraba o concepto de dimensión topolóxica. Este inocente cubo posúe algunhas características absolutamente desconcertantes: a súa superficie é infinita e o seu volume nulo.

Esponxa de Menger

A Esponxa de Menger (ou cubo de Menger) é un fractal -un obxecto semixeométrico cuxa estrutura básica, fragmentada ou irregular, se repite a diferentes escalas-, e trátase da versión tridimensional da alfombra de Sierpinski, outro fractal proposto por Wacaw Sierpiski en 1916.

Para entender como se constrúe unha esponxa de Menger necesitamos primeiro entender a forma en que se obtén unha alfombra de Sierpinski, cuxo resultado final é unha superficie repleta de buratos de diferentes tamaños, cunha superficie que tende a cero a medida que aumenta o numero de iteracións.

Sabemos que os obxectos teñen un número enteiro de dimensións. Unha recta, por exemplo, ten unha soa dimensión. Un cadrado ten dous, e un cubo ten tres. Pero os obxectos fractales como a alfombra de Sierpinski ou o cubo de Menger poden ter un número fraccionario de dimensións. Por exemplo, a mencionada alfombra ten unha dimensión de 1,8927… maior á dunha recta, pero menor á dunha superficie plana tradicional.

A esponxa de Menger obtense aplicando a un cubo un proceso similar ao utilizado para crear a alfombra de Sierpinski: toma un cubo e divídese cada cara do cubo en 9 cadrados. Isto subdivide o cubo en 27 cubos máis pequenos, como lle sucede ao cubo de Rubik. Eliminamos os cubos centrais de cada cara (6) e o cubo central (1), deixando soamente 20 cubos. Repetimos os pasos 1, 2 e 3 para cada un dos vinte cubos menores restantes. A esponxa de Menger é o límite deste proceso tras un número infinito de iteracións.

O resultado é unha figura que garda certo parecido cunha esponxa de mar (de aí o seu nome) e que ten unha dimensión de log 20 / log 3 =2.7268…

O segredo, o infinito

En efecto, se só repetísemos o proceso de construción da esponxa un número finito de veces, seguiriamos tendo unha cantidade finita de cubos. Pero ao aplicar indefinidamente o mecanismo proposto por Menger obtemos o cubo inicial horadado unha e outra vez por unha “rede de tubos prismáticos de sección cadrada” cada vez máis pequenos, que conforman unha rede interna similar á que conforman nosos capilares, veas e arterias, pero infinitamente máis complexa. O que era un cubo converteuse nunha colección de segmentos orientados nas tres dimensións posibles, un esqueleto que a pesar de estar composto por infinitas pezas, estas posúen un “espesor” que tende a cero con cada iteración, o que fai da esponxa de Menger un obxecto cun volume nulo e unha superficie infinita.

Estas estruturas fractales adoitan ter importantes aplicacións prácticas. Os fractales axúdannos a modelar o tráfico en redes de comunicacións, a comprimir os sinais de audio e vídeo, a entender a forma en que crecen os tecidos ou evolucionan determinadas poboacións, ou na análise dos patróns sísmicos. Mesmo existen métodos de análise bolsista e de mercado que se basean nos fractales. Como podes ver, a matemática sempre resulta útil e sorprendente.